Isomorfisma Ring

Teorema Isomorfisma Ring

Teorema b.1. Teorema Isomorfisma pertama Diberikan φ suatu homomorfisma dari ring R ke ring S dengan kernel A. Maka S adalah isomorfik dengan ring faktor R/A; dengan pemetaan α : R/A → S didefinisikan sebagai α(u+A) = φ(u) ; untuk setiap u+A ∈ R/A.

Bukti :

Sudah dibuktikan pada bab 3 dalam teorema b.2. bahwa

A = Ker φ adalah ideal dari R.

Maka dapat dibentuk ring faktor R/A.

Akan ditunjukkan pemetaan α di atas tertutup (terdefinisi dengan

baik).

Ambil u+A, v+A ∈ R/A dengan u+A = v+A; u,v ∈ R.

Berarti u – v ∈ A. Atau u = v + a; a ∈ A.

Maka diperoleh φ ( u) = φ ( v+a ) = φ (v) + φ (a) ;

karena φ homomorfisma.

Karena a ∈ A; dengan A = ker φ ; maka φ (a) = 0.

Sehingga φ (u) = φ (v).

Selanjutnya, akan ditunjukkan α : R/A → S isomorfisma.

Pertama, ditunjukkan bahwa α homomorfisma.

α ((u+A)+(v+A)) = α ((u+v) + A)

= φ (u+v)

= φ (u) + φ (v) ; karena φ homomorfisma

= α (u+A) + α ( v+A)

α ((u+A)(v+A)) = α (uv + A )

= φ (uv )

= φ (u) φ (v) ; karena φ homomorfisma

= α ( u+A) α ( v+A ) Terbukti α homomorfisma.

Kedua, akan dibuktikan α pemetaan injektif.

Ambil u+A, v+A ∈ R/A dengan α ( u+A ) = α ( v+A ).

Ambil u+A ∈ Ker α. Maka α (u+A) = 0 = φ (u). Dari bentuk tersebut, berarti u ∈ Ker φ = A, u ∈ A. Sehingga diperoleh u+A = o+A = A, adalah identitas penjumlahan dari ring R/A. Maka Ker α = {0}.

α (u+A) = α (v+A) ⇒ α (u+A) -α (v+A) = 0 α ((u-v) + A) = 0; α homomorfisma.

φ ( u-v ) = 0 ⇒ u–v ∈ Ker φ

(u–v)+A ∈ Ker ⇒ (u–v)+A=0atau (u+A)–(V+A)=0 Akan dibuktikan α surjektif.

Diberikan s ∈ S. Diasumsikan bahwa φ surjektif, ada suatu r ∈ R dengan φ (r ) = s.

Maka α (r+A)= φ ( r ) = s.

Terbukti α surjektif. g

Teorema itu disebut Teorema Isomorfisma Pertama untuk ring karena teorema tersebut merupakan aturan dasar dalam mempelajari homomorfisma. Teorema tersebut dapat diartikan (diinterpretasikan) dengan menyatakan bahwa jika ring isomorfik tidak berbeda, maka hanya bayangan homomorfik dari ring R adalah ring-ring faktor R/A, dengan A adalah suatu ideal dari R.

Diberikan suatu penjelasan sebagai berikut dalam menggunakan teorema ini. Misalkan F suatu field dan φ :F → S adalah homomorfisma. Untuk menentukan beberapa informasi tentang S, perlu diketahui suatu

hal tentang ideal dari F. Setiap elemen taknol F mempunyai invers, maka suatu ideal taknol dari F memuat elemen identitas (satuan) dan oleh karena itu memuat setiap elemen dari F. Maka F hanya mempunyai dua ideal sederhana (trivial), sehingga hanya ada 2 kemungkinan untuk A = Ker φ. Jika A = <0> maka menurut teorema b.2 (dalam bab III), φ merupakan suatu isomorfisma yaitu S adalah field isomorfik dengan F. Alternatif lain, yaitu A = F, di mana F/A = F/F adalah suatu ring dengan hanya 1 elemen dengan setiap koset f + F = 0 + F. Maka dari teorema b.1 menyebabkan S adalah ring dengan 1 elemen. Dari uraian di atas dapat dirumuskan definisi berikut ini.

Definisi b.1. Diberikan R dan S suatu ring. Suatu isomorfisma dari R pada S adalah pemetaan θ :R → S yang merupakan pemetaan satu-satu dan onto dan memenuhi

θ (a+b) = θ(a) + θ(b)

dan θ(ab ) = θ(a) θ(b) untuk setiap a,b ∈ R. Jika ada isomorfisma dari R terhadap S, maka R dan S disebut isomorfik dan ditulis R ≈ S. 1

Dalam keadaan θ(a+b) = θ(a) + θ(b) dan θ(ab) = θ(a) θ(b), operasi pada ruas kiri dalam setiap persamaan adalah operasi pada R dan operasi pada ruas kanan adalah dalam S. Karena dari operasi penjumlahan maka ring isomorfisma juga merupakan grup penjumlahan dari R ke S. Ini berarti θ(0) = 0 dan θ(-a) = -θ(a) untuk setiap a ∈ R. Contoh berikut menunjukkan bahwa suatu isomorfisma antara grup penjumlahan dari dua ring tidak selalu merupakan ring isomorfisma.

Definisi b.2. Diberikan R ring. Jika ada suatu bilangan bulat positif n sedemikian sehingga na = 0 untuk setiap a, maka bilangan bulat terkecil disebut karakteristik dari R. Jika tidak ada bilangan bulat positif, maka R disebut mempunyai karakteristik 0. �

Jika suatu ring mempunyai sebuah elemen satuan e dan karakteristik n ≠0 maka ne = 0. Di lain pihak, jika ne = 0 dan a ∈ R, maka na = n(ea) = (ne) a = 0a = 0. Maka, untuk suatu ring dengan satuan e, karakteristik dapat didefinisikan sebagai bilangan bulat positif terkecil n sedemikian sehingga ne = 0, jika ada suatu bilangan bulat maka ring mempunyai karakteristik 0.

http://matematikakuadrat.blogspot.com/2009/01/teorema-isomorfisma-ring.html

Read More

Ring Homomorfisma

Ring Homomorfisma

Definisi b.1 Diberikan R dan S ring-ring. Suatu pemetaan θ :R → S adalah homomorfisma jika memenuhi

θ (a+b) = θ(a) + θ(b) dan θ(ab) = θ(a) θ(b) untuk setiap a,b ∈ R S disebut bayangan homomorfik dari R. �

Dalam bentuk θ (a+b) = θ(a) + θ(b) dan θ(ab) = θ(a) θ(b), operasi pada ruas kiri adalah operasi pada ring R dan operasi ruas kanan merupakan operasi pada ring S. Karena θ :R → S adalah suatu ring homomorfisma maka θ (0R) = 0S dan θ(-a) = -θ(a), untuk setiap a ∈ R.

Diberikan θ :K → L didefinisikan sebagai

θ(a) = k, θ(b) = i, θ(c) = j, θ(d) = l. Pemetaan θ :K → L merupakan homomorfisma, karena sesuai dengan definisi homomorfisma. Sebagai contoh :

θ(a+b) = θ(b) = i = k + i = θ(a) + θ(b) θ(a.b) = θ(a) = k = k.i = θ(a). θ(b)

Definisi b.2.
Suatu	homomorfisma	yang	memenuhi	pemetaan	injektif	dan
pemetaan surjektif disebut isomorfisma.				�

Berikut ini akan disajikan secara lengkap sifat-sifat dari homomorfisma ring.

Teorema b.1. Diberikan θ :R → S homomorfisma dari ring R terhadap ring S. Maka setiap pernyataan berikut ini dipenuhi :

i). Jika 0 adalah elemen identitas terhadap penjumlahan dalam R

(atau elemen nol dari R ) maka θ(0) adalah elemen identitas dari

S. ii). Jika a ∈ R, maka θ(-a) = -θ(a).

iii). Jika R mempunyai elemen satuan e dan θ merupakan suatu pemetaan onto (surjektif) maka S mempunyai θ(e) sebagai elemen satuan.

iv). Misalkan R mempunyai elemen satuan dan θ pemetaan onto (surjektif). Jika a elemen dari R yang mempunyai invers perkalian maka

θ(a^-1)= θ(a)^-1 . v). Jika R adalah ring komutatif dan θ merupakan pemetaan surjektif, maka S adalah ring komutatif. vi). Jika A merupakan subring dari R maka θ(A) adalah subring dari

S.

Bukti :

iii). Akan ditunjukkan bahwa sθ(e) = θ(e)s = s untuk setiap elemen s ∈S. Diberikan s∈S. Karena θ surjektif, ada paling sedikit satu elemen r ∈ R sedemikian sehingga θ (r ) = s. Karena e elemen satuan R dan berlaku r e = e r = r, maka

θ(re)= θ(er)= θ( r ). Dari perkalian pada pemetaan θ yang merupakan homomorfisma maka θ(re)= θ(r ) θ (e)= θ (e) θ(r) = θ (r) Sehingga berlaku s θ( e) = θ (e ) s = s, di mana θ( e ) elemen satuan S.

vi).Diketahui A subring dari ring R. Berarti A merupakan grup penjumlahan. Himpunan θ(A) dengan operasi penjumlahan dalam S adalah subgrup dari S. Jika θ ( a1), θ( a2) ∈θ(A), a1, a2 ∈ A ⊆ S maka

θ (a1) θ( a2) = θ( a1a2 ), karena θ homomorfisma. Padahal θ (a1a2 ) ∈θ(A). Maka θ (a1) θ( a2) ∈θ(A), sehingga θ(A) tertutup terhadap perkalian.

Jadi θ(A) merupakan subring dari S. g

Definisi b.3. Diberikan θ :R → S suatu homomorfisma dari ring R ke ring S. Kernel θ didefinisikan sebagai himpunan semua elemen r ∈ R sedemikian sehingga memenuhi θ (r) = 0S, di mana 0S adalah elemen identitas penjumlahan pada S. Dilambangkan dengan Ker (θ )={r ∈ R| θ ( r) = 0S }. �

Dari definisi b.3. terlihat bahwa kernel dari homomorfisma θ adalah Kernel dari grup-grup homomorfisma dari ( R, +) ke ( S, +) yang dihubungkan dengan pemetaan θ. Untuk mempersingkat notasi, 0S dapat diganti dengan 0.

Teorema b.2. Jika θ :R → S suatu homomorfisma dari ring R ke ring S, maka Ker (θ ) adalah ideal dari R. Selanjutnya, θ merupakan pemetaan injektif ( pemetaan satu-satu) bila dan hanya bila Ker (θ ) = { 0 }. Jika θ memetakan R ke S , maka θ adalah suatu isomorfisma bila dan hanya bila Ker (θ ) = { 0 }.

Bukti : Untuk menunjukkan Ker (θ ) suatu ideal yaitu dengan membuktikan bahwa Ker (θ ) tertutup terhadap “ +” dan memenuhi definisi ideal. Diberikan a,b ∈ Ker (θ ) maka dipenuhi θ ( a) = 0 dan θ (b) = 0, a,b ∈ R. Maka θ (a + b) = θ ( a) + θ (b)

=0+0=0 Jadi a + b ∈ Ker (θ ). Diberikan a ∈ Ker (θ ) dan r ∈ R. Maka θ (a ) = 0, a ∈ R.

Diperoleh θ (ar) = θ (a) θ( r) = 0. θ (r) =0

Karena R ring dan a,r ∈ R maka ar ∈ R. Karena θ (ar ) =0 maka ar ∈ Ker (θ ) …………(1) Diperoleh θ (ra) = θ (r ). θ(a)

= θ ( r ). 0 = 0 Karena θ ( ra ) = 0 maka ra ∈ Ker (θ ) ……….(2) Dari (1) dan (2) terbukti Ker (θ ) adalah ideal dari R.

Teorema b.3. Diberikan θ :R → S suatu homomorfisma dari ring R ke ring S. θ merupakan pemetaan injektif ( pemetaan satu-satu) bila dan hanya bila Ker (θ ) = { 0 }. Jika θ memetakan R ke S , maka θ adalah suatu isomorfisma bila dan hanya bila Ker (θ ) = { 0 }.

Bukti : Akan dibuktikan untuk bagian pertama. Misalkan θ pemetaan injektif. Diberikan a ∈ Ker (θ) , maka θ (a) = 0. Atau θ(a) = 0 = θ(0). Karena θ pemetaan injektif maka a = 0. Terbukti Ker (θ) = {0}. Misalkan Ker (θ) = {0}. Diberikan a,b ∈ R dengan θ(a) = θ(b). Maka θ(a) -θ(b) = 0. Karena θ homomorfisma maka θ(a) -θ(b) = θ (a – b ) =0. Sehingga a – b ∈ Ker (θ). Diketahui Ker (θ) ={0}, maka a – b = 0 atau a =b. Terbukti θ pemetaan injektif.

Selanjutnya, dibuktikan untuk bagian kedua. Pembuktian bagian ini sudah termasuk dalam teorema b.3 bagian pertama, dengan mengingat pemetaan isomorfisma pasti injektif. Diketahui Ker (θ) = {0}. Sudah dibuktikan bahwa θ injektif. Akan dibuktikan θ surjektif. Ambil b ∈ S, b = b + θ(0). Maka θ ( b+0 ) = θ (b) + θ(0) = θ(b) + 0 = θ(b)

Teorema b.4. Diberikan θ :R → S merupakan homomorfisma dari ring R ke ring S. Maka berlaku : Bayangan dari θ (Im(θ)) merupakan subring dari S dan Ker (θ) adalah ideal dari R.

Bukti : Diberikan θ ( R ) bayangan dari θ. Karena R ring maka θ(R) tidak kosong. Diberikan s1, s2 ∈θ(R ). Maka s1 = θ(r1), s2 = θ(r2) ; r1, r2 ∈ R. Karena θ homomorfisma maka θ( r1 r2 ) = θ( r1) θ( r2 ) = s1 s2 . Karena r1r2 ∈ R maka s1s2 ∈θ( R ). Menurut teorema b.1.(ii) θ (-r2 ) = -θ( r2 ). Karena θ homomorfima maka θ( r1 + (-r2)) = θ (r1) + θ (-r2) = θ(r1) -θ(r2) =s1 – s2 Karena r1 + (-r2) ∈ R maka s1 – s2 ∈θ ( R).

Diberikan R ring komutatif dengan elemen identitas e, dan a ∈R. Maka 〈 a 〉 = { ra | r ∈ R } adalah ideal dari R. 〈 a 〉 adalah subgrup dari grup penjumlahan R :

(i). Jika r, s ∈ R, sedemikian sehingga ra, sa ∈ 〈 a 〉 maka ra +sa = (r +s) a ∈ 〈 a 〉 (ii). 0 =0a ∈ R. (iii). Negatif dari suatu elemen ra ∈ <> adalah (-r) a yang juga anggota dari .

Jika ra ∈ 〈a〉 dan s ∈ R, maka s ( ra) = (sr ) a ∈ 〈a〉 . Maka 〈a〉 adalah ideal dari R. Dengan ideal dari bentuk 〈a〉 disebut ideal utama. Ideal 〈a〉 adalah ideal terkecil dari R yang memuat a. Setiap ideal dari Z adalah ideal utama. Beberapa ring, seperti Z, mempunyai beberapa ideal. Ada beberapa ring yang tidak mempunyai ideal kecuali 〈0〉 dan ring itu sendiri.

Jika F merupakan field maka F tidak mempunyai ideal kecuali 〈0〉 dan F.

Bukti : Diandaikan bahwa I adalah ideal dari F dan I ≠ 〈0〉. Akan dibuktikan I = F. Diberikan a ∈ I, a ≠ 0. Maka a mempunyai invers dalam F karena F adalah field. Jika e elemen identitas dalam F, maka e = a a^-1 ∈ I karena I ideal. Padahal jika r adalah suatu elemen dari F, maka r = e r ∈ I, karena I ideal. Hal ini menunjukkan bahwa I = F. g

Read More

Ring Faktor

Dalam bagian ini akan diuraikan ring-ring faktor. Berdasarkan pada uraian sebelumnya, jika A suatu ideal dari ring R, maka A adalah subgrup dari grup penjumlahan R ( yang komutatif) dan merupakan grup normal. Selanjutnya, akan diuraikan ring faktor R/A. Karena elemen-elemen R/A adalah koset-koset dari A, elemen-elemen tersebut dapat ditulis dalam bentuk I + r dengan r ∈ R. Dan R/A merupakan ring dijelaskan dalam teorema berikut. R/A = { r + A | r ∈ R } melambangkan himpunan kelas-kelas ekuivalensi dari R modulo A dengan A ideal. Atau menunjukkan himpunan koset-koset r + A. Beberapa sifat dari koset :

( i). u + A = v + A bila dan hanya bila u – v ∈ A (ii). (u + A) ∩ (v+A) ≠∅ bila dan hanya bila u + A = v+A.

Teorema a.1. Diberikan A suatu ideal dari ring R. Operasi-operasi penjumlahan dan perkalian didefinisikan pada himpunan R/A dengan aturan

( u + A) + ( v +A ) = ( u+v) + A

( u + A ) ( v+ A) = uv + A Terhadap operasi tersebut R/A adalah suatu ring dan disebut ring faktor. Selanjutnya, pemetaan θ :R → R/A didefinisikan oleh θ (u) = u + A adalah homomorfisma dari R ke R/A. Bukti :

Beberapa syarat yang berkaitan dengan ring harus dibuktikan.

Akan dibuktikan sifat tertutup. Misalkan u + A = u1 +A dan v + A = v1+ A. Harus ditunjukkan bahwa uv + A= u1v1 + A dan ( u+v) + A= (u1 + v1) + A. Karena u + A = u1+ Amaka u – u1 ∈ A atau u ≡ u1 (mod. A). Dan v+A=v1+Amakav–v1 ∈ A atau v ≡ v1 ( mod.A). Menurut teorema a.1. pada bab III, ( u+v) ≡ (u1 + v1) (mod. A) dan uv ≡ u1v1 (mod. A). Maka (u+v)+A=(u1+v1)+Adanuv+A=u1v1+A. Akan dibuktikan satu dari aturan-aturan distributif. Diberikan u,v,w ∈ R.

(u+A) [ (v+A) + ( w+ A )] = ( u+A) [ ( u+w) + A ] = ( u (v+w)) + A = ( uv + uw) + A = (uv + A ) + ( uw+ A) = ( u+A) ( v+A) + ( u+A) ( w+A)

0+A = A adalah elemen identitas penjumlahan dari R/A dengan 0 ∈ R. Jika R mempunyai elemen identitas perkalian e, maka e + A adalah identitas perkalian dari R/A. Jika ring R komutatif maka setiap ring faktor R/A juga komutatif. Tetapi sebalikmya tidak benar. Ring R/A dapat komutatif meskipun R tidak komutatif. g

Ring faktor R/A belum tentu merupakan daerah integral meskipun R adalah daerah integral. Sebagai contoh, Z adalah daerah integral, padahal Z6 bukan daerah integral.

Teorema a.2. Jika R suatu ring dan A adalah ideal dari R, maka pemetaan φ :R → R/A didefinisikan sebagai φ (u) = u + A; untuk setiap u ∈ R; adalah homomorfisma dari R ke R/A dan Ker (φ ) = A.

Bukti :

Diberikan u,v ∈ R maka φ (uv ) = uv + A = (u+A)(v+A) = φ(u) φ(v) φ ( u+v) = ( u+v) + A= ( u+A)+ (v+A) = φ (u) + φ (v)

Ambil u ∈ Ker (φ ) maka u ∈ R dan φ(u) = 0 + A; 0+A elemen nol dari R/A.

φ (u ) = u+A = 0+A maka u ∈ A. Ambil u ∈ A, maka u ∈ R. Karena φ homomorfisma maka φ(u) = u+A. g

Read More

Daerah Integral (Ring)

Daerah Integral

Definisi a.1. Suatu elemen a dari ring R disebut pembagi nol kiri jika terdapat elemen taknol c dalam R sedemikian sehingga ac = 0. Sedangkan analog dengan di atas, a∈R disebut pembagi nol kanan jika terdapat elemen taknol d dalam R sedemikian sehingga da = 0. Jika ada b∈R, b ≠ 0 sedemikian sehingga ab = ba = 0 maka a disebut pembagi nol (divisor of zero). �

Dalam setiap ring, elemen netral terhadap penjumlahan, yaitu 0, merupakan pembagi nol. Karena 0a = a0 = 0 dengan a ≠0. Apabila R mempunyai elemen satuan e, maka e bukan pembagi nol, karena untuk setiap b∈R, eb = be = b.

Definisi a.2. Suatu pembagi nol a disebut pembagi nol sejati (proper divisor of zero), bila dan hanya bila a ≠0. �

Dalam himpunan bilangan bulat telah diketahui bahwa jika a,b ∈Z dan ab = 0 maka pasti a = 0 atau b = 0. Sehingga ring dari bilangan bulat tidak memuat pembagi nol sejati. Sebaliknya terdapat juga ring-ring yang memuat pembagi nol sejati.

Misalkan ring dari bilangan bulat modulo 6 ( Z6), sebagai contoh, [2], [3] ∈Z6, [2] ⊗ [3] = [0] dengan [2] ≠ [0] dan [3] ≠ [0], [2] dan [3] adalah pembagi nol. Demikian juga ring dari matriks berordo 2x2 memuat pembagi nol sejati

Definisi a.3. Suatu ring R tidak memuat pembagi nol sejati bila dan hanya bila untuk setiap a,b ∈R, jika ab = 0 maka a = 0 atau b = 0. Atau dengan kontraposisi : a ≠0 dan b ≠ 0 ⇒ ab ≠ 0. �

Teorema a.1. Hukum Kanselasi pada Perkalian. Jika a bukan pembagi nol dalam ring R, maka sifat berikut ini berlaku :

i). Jika b,c ∈R sedemikian sehingga ab = ac maka b = c. ii). Jika b,c ∈R sedemikian sehingga ba = ca maka b = c. Bukti :

Akan dibuktikan untuk (i). Jika ab = ac maka ab – ac = 0 dan a(b-c) = 0. Karena a bukan pembagi nol, maka b – c = 0, sehingga b = c. Untuk (ii) dibuktikan analog.

Teorema a.2. Diberikan a dan b elemen ring R. Jika a dan b bukan pembagi nol ring R maka ab bukan pembagi nol. Bukti :

Diberikan a dan b bukan pembagi nol. Akan dibuktikan ab bukan pembagi nol. Diandaikan ab merupakan pembagi nol kiri. Maka terdapat c∈R, c≠0 sedemikian sehingga (ab)c = 0. Tetapi (ab)c = a(bc). Karena a bukan pembagi nol dan a(bc) = 0 maka bc = 0. Karena b bukan pembagi nol dan bc = 0 maka c = 0. Kontradiksi dengan pengandaian c≠0. Maka pengandaian harus diingkar. Jadi c = 0. g

Untuk selanjutnya, akan diberikan suatu ring yang tidak mempunyai pembagi nol yang tidak sama dengan nol (atau pembagi nol sejati), yang disebut daerah integral.

Definisi a.4. Suatu ring D dengan lebih dari 1 elemen disebut daerah integral jika memenuhi sifat komutatif, mempunyai elemen satuan dan tidak memuat pembagi nol yang tidak sama dengan nol (tidak memuat pembagi nol sejati). �

Cara lain untuk menyatakan bahwa ring D tidak mempunyai pembagi nol sejati adalah dengan menggunakan pernyataan berikut :

Jika r , s ∈D sedemikian sehingga rs = 0 maka r = 0 atau s =0.

Dari definisi tentang daerah integral, hukum kanselasi perkalian (teorema 1) selalu benar untuk a ≠ 0. Contoh yang tidak asing dari daerah integral adalah ring-ring bilangan bulat, bilangan real dan bilangan kompleks.

Teorema a.3. Sifat Kanselasi Kiri. Jika D adalah daerah integral a,b,c ∈ D,a ≠ 0 dan ab = ac maka b = c . Bukti :

Diketahui ab = ac maka diperoleh ab – ac = 0. Sehingga a(b-c) = 0. Karena a ≠ 0, a elemen taknol dari daerah integral D maka a bukan pembagi nol. Sehingga didapat b – c = 0 dan b = c. g

Karena perkalian bersifat komutatif dalam suatu daerah integral, maka sifat kanselasi kiri dalam teorema a.3. ekuivalen dengan sifat kanselasi kanan, yaitu :

Jika a ≠ 0 dan ba = ca maka b = c.

Selanjutnya, untuk ring komutatif dengan sifat kanselasi menyebabkan ring tersebut tidak mempunyai pembagi nol. Definisi lain dari daerah integral adalah : Daerah integral adalah suatu ring komutatif D dengan elemen satuan e ≠ 0 sedemikian sehingga jika a,b,c ∈ D, ab = ac dan a ≠ 0 maka b = c.

Read More

Field (Ring)

Field

Definisi c.1. Diberikan A subring dari ring R. Maka :

i). A disebut ideal kanan dalam R jika A tertutup terhadap operasi perkalian (pergandaan) sebelah kanan dari elemen dalam R. Jika a ∈ A,r ∈ R maka ar ∈ A.

ii). A disebut ideal kiri dalam R jika A tertutup terhadap operasi pergandaan sebelah kiri dari elemen-elemen dalam R. Jika a ∈ A, r ∈ R, maka ra ∈ A.

iii). A disebut ideal dalam R jika dipenuhi bahwa A ideal kiri dan kanan dalam R. �

Dalam suatu ring R, subring yang hanya memuat elemen nol dan dari definisi jelas merupakan ideal, dan ring R yang memuat subring tersebut

juga merupakan ideal. Kedua ideal tersebut disebut ideal trivial (sederhana). Jika R mempunyai elemen identitas e dan suatu ideal A dalam R memuat sebuah elemen a dengan invers perkalian, maka A = R. Yaitu, jika a ∈ A dan aa^-1 = e, maka e∈A dan ex= x ∈A, untuk setiap x∈R. Dengan cara yang sama dapat ditunjukkan pula berlaku untuk ideal kiri dan ideal.

4. Himpunan Ra terdiri atas semua kelipatan-kelipatan ra dengan a elemen tertentu adalah suatu ideal. Karena jika m1 ∈ Ra, m1 = r1a dan m2∈Ra, m2 = r2a, maka m1 – m2 = r1a – r2a = (r1 – r2)a = r’ a. Sehingga m1 – m2 ∈ Ra. Selanjutnya jika m ∈ Ra, dan m = ra , r1 ∈ R maka r1m=r1(ra)=(r1r)a=r’a. Sehinggar1m ∈ Ra.

Diberikan S ring komutatif dengan elemen identitas e. Jika a ∈ S, diberikan A = { as | s ∈ S } dan dapat dibuktikan bahwa A adalah ideal dalam S. Jika s,t ∈ S maka as + at = a(s+t) dan (as)t = a(st), sehingga A tertutup terhadap penjumlahan dan perkalian oleh sebarang elemen dari S. Selanjutnya, -(as) = a(-s) ∈ A, dan oleh karena invers-invers penjumlahan dari elemen-elemen A adalah juga berada di A, maka A adalah ideal dalam S.

Definisi c.2. Diberikan S ring komutatif dengan elemen satuan. Jika a∈S, suatu ideal dengan bentuk = { as | s∈S } maka disebut ideal utama (principal ideal). Atau dapat juga disebut ideal utama yang dibangun oleh a dan a disebut pembangkit dari ideal. �

Apabila ring R mempunyai elemen satuan maka elemen-elemen berbentuk ra + na dapat ditulis dengan bentuk yang lebih bersahaja. Sebab ra + na = ra + ne.a = (r + ne)a = r’a. Sehingga, bila R mempunyai elemen satuan maka ideal yang dihasilkan oleh a (yaitu ) terdiri atas semua kelipatan-kelipatan ring dari a. Dapat ditulis sebagai himpunan Ra, yaitu Ra = { ra | r ∈ R } dengan a tertentu. Ra tersebut merupakan salah satu contoh lain ideal. Apabila m1 ∈ Ra maka m1 = r1a dan m2 ∈ Ra maka m2 = r2a. Sehinggam1-m2= r1a-r2a=(r1-r2)a=r’a.Jadim1-m2 ∈ Ra. Selanjutnya, jika m∈ Ra, jadi m = ra, dan r1 ∈ R maka r1 (ra) = (r1 r)a = r’

a. Sehingga r1m ∈ Ra.

Teorema c.1.

Jika R adalah daerah euclidean, maka setiap ideal dari R adalah ideal utama. Bukti :

Diberikan d fungsi Euclid untuk R dan diberikan A ideal dari R. Jika A hanya terdiri dari elemen nol, maka A adalah ideal utama dengan A = <0>. Misalkan A bukan ideal nol. Maka himpunan M = { d(a)| a ∈ A, a ≠ 0 } bukan himpunan kosong. Karena M terdiri dari bilangan-bilangan bulat taknegatif, maka menurut sifat keterurutan ada elemen terkecil dalam M. Diambil b ∈ A sehingga d(b) adalah elemen terkecil dari M, maka d(b) ≤ d(a) untuk setiap a∈A dengan a ≠0. Akan dibuktikan bahwa A adalah ideal utama yang dibangun oleh

b. Untuk membuktikannya , harus ditunjukkan bahwa setiap elemen dari A habis dibagi oleh b. Ambil a ∈ A. Dengan algoritma pembagian dipunyai a = bq + r dengan r = 0 atau d(r) <>. Untuk d(r) <>. Elemen r = a – bq adalah elemen dari A, karena a dan b elemen A. Jika r ≠ 0, maka d(r) elemen M dan d(r) lebih kecil dari pada elemen terkecil M, yaitu d(b). Hal tersebut tidak mungkin, sehingga r = 0 dan a = bq. Bentuk tersebut menunjukkan bahwa setiap elemen A adalah perkalian dari b dan A = . g

Read More

Ideal Ring

Ideal

Karena suatu daerah integral tidak mempunyai pembagi nol, maka himpunan dari elemen-elemen taknol tertutup terhadap perkalian. Dalam daerah integral dari bilangan rasional, setiap elemen taknol mempunyai invers perkalian.

Definisi b.1. Suatu ring komutatif F dengan lebih dari 1 elemen dan mempunyai elemen satuan disebut field jika setiap elemen taknol dari F mempunyai invers perkalian dalam F. � Setiap elemen taknol dari suatu field mempunyai tepat satu invers perkalian. Invers perkalian dari elemen taknol r dari field dilambangkan dengan r ^–1 . Jika e adalah elemen satuan dari F, r^-1 adalah elemen tunggal F sedemikian sehingga

-1 -1

r.r =r .r=e Dalam cara lain, suatu field dapat diartikan sebagai daerah integral dengan setiap elemen taknol mempunyai invers perkalian. Contoh lain dari field, selain ring bilangan rasional ada juga ring bilangan real. Hubungan antara suatu daerah integral dan field diberikan dalam teorema berikut.

Teorema b.1. Suatu field adalah daerah integral. Bukti :

Diberikan r dan s elemen-elemen dari field F sedemikian sehingga rs = 0. Jika r ≠ 0, r mempunyai invers perkalian r^-1 dalam F sehingga dipenuhi

r^-1 (r s) =( r^-1 r ) s = 1 s = s. Padahal,r^-1 (rs)=r ^–1 0=0. Maka s = 0, berarti telah dipenuhi bahwa r = 0 atau s = 0. Ini membuktikan bahwa F tidak mempunyai pembagi nol yang taknol (tidak mempunyai pembagi nol sejati) dan F memenuhi ciriciri daerah integral. g

Akibat teorema b.1. Jika R adalah subring dari field F dan R memuat elemen satuan dari F, maka R adalah daerah integral. Bukti :

Karena operasi penjumlahan dan perkalian dari elemen dalam R didefinisikan sama dengan operasi untuk F, maka R adalah ring komutatif dengan elemen satuan. Selanjutnya, jika r dan s elemenelemen dari R dengan r s = 0, maka, karena r dan s juga berada di F, maka dipenuhi r = 0 atau s = 0. Oleh karena itu R adalah daerah integral. g

Teorema b.2. Jika r dan s adalah elemen dari field F dan r ≠ 0 maka ada elemen tunggal y ∈ F sedemikian sehingga r y = s. Selanjutnya, y = r ^–1 s. Bukti :

Jelas bahwa r^–1 s adalah penyelesaian dari persamaan r y = s, karena

r(r ^–1s)=(rr ^–1)s=1s=s. Untuk menunjukkan ketunggalan dari penyelesaian, misalkan ry1=sdan ry2=s.Makary1=ry2dankarenar ≠ 0, dengan hukum kanselasi perkalian diperoleh y1 = y2. g

Akibat dari teorema tersebut, menyebabkan ada field dengan orde berhingga.

Teorema c.3. Setiap daerah integral berhingga merupakan field. Bukti :

Diberikan 0, 1, a1, a2, ...., an merupakan elemen-elemen dari daerah integral berhingga D. Akan ditunjukkan bahwa untuk a ∈ D, dengan a ≠ 0, ada b ∈ D sedemikian sehingga ab = 1. Perhatikan a1, aa1, aa2, ....., aan. Diandaikan bahwa semua elemen tersebut (elemen dari D) berbeda, untuk a ai = a aj menyebabkan ai = aj , dengan hukum kanselasi yang berlaku pada daerah integral.

Karena D tidak mempunyai pembagi nol, tidak satupun dari elemen

– elemen tersebut adalah 0. Banyaknya anggota dari a1, aa1, aa2, ....., aan adalah tepat sebanyak n. Andaikan ai aj = ai ak maka ai (aj -ak) = 0, karena daerah integral tidak memuat pembagi nol sejati maka aj -ak = 0 , jadi aj = ak . Diperoleh a1, aa1, aa2, ....., aan adalah elemen-elemen 1, a1, a2, ...., an terurut, maka ada a1 = 1, yaitu a = 1 atau aai = 1 untuk suatu i. Terbukti a mempunyai invers perkalian. g

Definisi c.2. Suatu subset K dari field F adalah subfield dari F jika K sendiri merupakan field terhadap operasi pada F. �

Teorema c. 4. Suatu subset K dari field F adalah subfield dari F bila dan hanya bila a). K memuat elemen nol dan elemen satuan dari F. b). Jika a,b ∈ K maka a+b ∈ K dan ab ∈ K. c). Jika a ∈ K, maka –a ∈ K.

d). Jika a ∈ K dan a ≠ 0 maka a^-1∈K

Read More

Tugas Pascal Algoritma Pemprograman

Program Validasi_Password;

uses wincrt;

const password='abc123';

var

sandilewat:string;

sah:boolean;

count:integer;

begin

count:=1;

sah:=false;

while (not sah) and (count<=3) do

read(sandilewat);

if sandilewat=password then

sah:=true

else

count:=count+1;

end.

Program KombinasiFaktorial;

uses wincrt;

var

fn,fk,kombinasi:real;

i,n,k,j:integer;

begin

writeln('-------============Program Kombinasi Faktorial===========--------');

writeln;

write('Masukkan bilangan n =');readln(n);

write('Masukkan bilangan k =');readln(k);

fn:=1;

fk:=1;

i:= 1;

while (i<= k) do

begin

fn:=fn*i;

i:= i+1;

end;

j:=1;

while (j<= k) do

begin

fk:=fk*(n-j+1);

j:= j+1;

end;

kombinasi:=fk/fn;

write('n kombinasi k = ');writeln(kombinasi:0);

writeln('-------=================Program Selesai==================--------');

writeln;

end.

Program kombinasi_faktorial2;

uses wincrt;

var

fn,fk,fn_k,Kombinasi:real;

i,n,k:integer;

begin

writeln('-----------------------------------------------------------------');

writeln('-------============Program Kombinasi Faktorial===========--------');

writeln('-----------------------------------------------------------------');

writeln;

write('Masukkan bilangan n =');readln(n);

write('Masukkan bilangan k =');readln(k);

fn:=1;

fk:=1;

fn_k:=1;

while (i= 2) and (2<= n) do

fn:=fn*i;

while (i = 2) and (2<= k) do

fk:=fk*i;

while (i= 2) and (2<= (n-k)) do

fn_k:=fn_k*i;

kombinasi:=fn/(fk*fn_k);

writeln(n,' Kombinasi ',k, ' = ',Kombinasi:0:0);

writeln('-----------------------------------------------------------------');

writeln('-------=================Program Selesai==================--------');

writeln('-----------------------------------------------------------------');

writeln;

end.

Program FaktorPrima;

uses wincrt;

var

z, i, prima: integer;

c: char;

y, t: boolean;

begin

writeln('=====================================================================');

writeln('++++++++++++++++++++++Program Faktor Prima+++++++++++++++++++++++++++');

writeln('=====================================================================');

writeln;

t := false;

while not t do

begin

write ('Masukkan angka yang anda inginkan: ');

readln (z);

for i := 1 to 11 do

begin

 case i of

   1  : prima := 2;

   2  : prima := 3;

   3  : prima := 5;

   4  : prima := 7;

   5  : prima := 11;

   6  : prima := 13;

   7  : prima := 17;

   8  : prima := 19;

   9  : prima := 23;

   10 : prima := 29;

   11 : prima := 31;

   end;

   repeat

   if (z mod prima = 0) then

   begin

      z := z div prima;

      write (prima, ' x ');

      end;

      until (z mod prima <> 0);

    end;

 if z mod prima <> 0 then

 write (z);

  writeln;

  write ('Mau coba lagi? (ya/tidak):  ');

  writeln('** (anda ketikan y untuk ya dan t untuk tidak )**');

  readln (c);

  case c of

  'y': t := false;

  't': t := true;

  end;

end;

writeln('++++++++++++++++++++++      Selesai       +++++++++++++++++++++++++++');

writeln('++++++++++++++++++++++        dan         +++++++++++++++++++++++++++');

writeln('+++++++++++++++++++      Terima Kasih       +++++++++++++++++++++++++');

end.

program bilangan_prima;

uses wincrt;

var

x,y: integer;

p: boolean;

begin

writeln('========================+++++++++++++++++++++++=======================');

writeln('                         Program Bilangan Prima');

writeln('========================+++++++++++++++++++++++=======================');

writeln;

writeln;

write('2 ');

for x := 3 to 100 do

begin

p := true;

for y := 2 to x-1 do

begin

if (x mod y) = 0 then

begin

p := false;

end;

end;

if p then write(x, ' ');

end;

readln;

writeln;

writeln;

writeln('========================+++++++++++++++++++++++=======================');

writeln('                         SELESAI');

writeln('========================+++++++++++++++++++++++=======================');

end.

program romawi;

uses wincrt;

var a,b,c,d,e,f,g,h,i,j,k,x:integer;

begin

writeln(' *                Program Untuk Penulisan Angka Romawi                *');                            

write  (' * Masukan nilai :  ');read(x);

a:=x mod 10;

b:=((x mod 100)-(x mod 10))div 10; 

c:=((x mod 1000) - (x mod 100))div 100;

d:=((x mod 10000) - (x mod 1000))div 1000;

write  (' * Angka romawi  :  ');

if x>3999 then write('Input tidak boleh lebih dari 3999')

 else if x<0 then write('Input tidak boleh negatif') else

begin

case d of

1: write('M');

2: write('MM');

3: write('MMM');

end;

 case c of

1: write('C');

2: write('CC');

3: write('CCC');

4: write('CD');

5: write('D');

6: write('DC');

7: write('DCC');

8: write('DCCC');

9: write('CM');

end;

 case b of

1: write('X');

2: write('XX');

3: write('XXX');

4: write('XL');

5: write('L');

6: write('LX');

7: write('LXX');

8: write('LXXX');

9: write('XC');

end;

 case a of

1: write('I');

2: write('II');

3: write('III');

4: write('IV');

5: write('V');

6: write('VI');

7: write('VII');

8: write('VIII');

9: write('IX');

end;

end;

end.

program romawi2;

uses wincrt;

var a,b,c,d,x:integer;

begin

write  ('  Masukan angka :  ');

read(x);

a:=x mod 10;

b:=((x mod 100)-(x mod 10))div 10; 

c:=((x mod 1000) - (x mod 100))div 100;

d:=((x mod 10000) - (x mod 1000))div 1000;

writeln;

write  ('  Angka romawi  :  ');

if x>3999 then write('maksimal 3999')

 else if x<0 then write('minimal 0') else

begin

case d of

1: write('M');

2: write('MM');

3: write('MMM');

end;

 case c of

1: write('C');

2: write('CC');

3: write('CCC');

4: write('CD');

5: write('D');

6: write('DC');

7: write('DCC');

8: write('DCCC');

9: write('CM');

end;

 case b of

1: write('X');

2: write('XX');

3: write('XXX');

4: write('XL');

5: write('L');

6: write('LX');

7: write('LXX');

8: write('LXXX');

9: write('XC');

end;

 case a of

1: write('I');

2: write('II');

3: write('III');

4: write('IV');

5: write('V');

6: write('VI');

7: write('VII');

8: write('VIII');

9: write('IX');

end;

 end;

  end.

program faktor_bilangan_prima;

uses wincrt;

var m:integer;

begin

writeln;

writeln('Program mencari bilangan faktor dengan bilangan prima');

writeln;

writeln('Masukan angka yang anda inginkan : ');

read(m);

repeat

if m mod 2 = 0 then

begin

m:=m div 2;

write('2 ');

end

else;

until m mod 2 <> 0 ;

repeat

if m mod 3 = 0 then

begin

m:=m div 3;

write('3 ');

end

else;

until m mod 3 <> 0 ;

repeat

if m mod 5 = 0 then

begin

m:=m div 5;

write('5 ');

end

else;

until m mod 5 <> 0 ;

repeat

if m mod 7 = 0 then

begin

m:=m div 7;

write('7 ');

end

else;

until m mod 7 <> 0 ;

repeat

if m mod 11 = 0 then

begin

m:=m div 11;

write('11 ');

end

else;

until m mod 11 <> 0 ;

repeat

if m mod 13 = 0 then

begin

m:=m div 13;

write('13 ');

end

else;

until m mod 13 <> 0 ;

repeat

if m mod 17 = 0 then

begin

m:=m div 17;

write('17 ');

end

else;

until m mod 17 <> 0 ;

repeat

if m mod 19 = 0 then

begin

m:=m div 19;

write('19 ');

end

else;

until m mod 19 <> 0 ;

repeat

if m mod 23 = 0 then

begin

m:=m div 23;

write('23 ');

end

else;

until m mod 23 <> 0 ;

repeat

if m mod 29 = 0 then

begin

m:=m div 29;

write('29 ');

end

else;

until m mod 29 <> 0 ;

repeat

if m mod 31 = 0 then

begin

m:=m div 31;

write('31 ');

end

else;

until m mod 31 <> 0 ;

repeat

if m mod 37 = 0 then

begin

m:=m div 37;

write('37 ');

end

else;

until m mod 37 <> 0 ;

repeat

if m mod 41 = 0 then

begin

m:=m div 41;

write('41 ');

end

else;

until m mod 41 <> 0 ;

repeat

if m mod 47 = 0 then

begin

m:=m div 47;

write('47 ');

end

else;

until m mod 47 <> 0 ;

writeln('                   Terima Kasih');

end.

Read More