Definisi c.1. Suatu
himpunan bagian tak kosong S dari ring R disebut subring dari R jika S adalah
ring terhadap kedua operasi pada R. �
Contoh : Ring dari
bilangan bulat genap adalah subring dari ring himpunan bilangan bulat. Dan ring
dari bilangan bulat adalah subring dari ring bilangan rasional.
Syarat perlu cukup agar
S merupakan subring diberikan dalam teorema berikut.
Teorema c.1. Diberikan R
ring dan S suatu himpunan bagian tak kosong dari R. Maka S merupakan subring
dari R bila dan hanya bila syarat berikut dipenuhi :
Untuk a,b∈R , ab ∈S dan a-b ∈S.
Bukti : Bila S merupakan subring dari ring R, berarti S adalah
ring terhadap kedua operasi dari R. Maka dipenuhi : 1). Untuk setiap a,b ∈S, ab∈S. 2). Untuk setiap a,b ∈S, a+b ∈S 3). Untuk setiap a ∈S, -a ∈S g
Contoh : Diberikan F = M
(R) melambangkan himpunan semua fungsi f : R → R. Diberikan (f+g) (x) = f(x) +
g(x) ; untuk setiap x∈R.
(fg)
(x) = f(x) g(x) ; untuk setiap x ∈R.
Dapat dibuktikan bahwa
M(R) dengan kedua operasi tersebut merupakan ring. Misalkan terdapat S yang
merupakan himpunan dari semua f∈F sedemikian sehingga
f(1) = 0. Maka S adalah subring dari F. Karena memenuhi definisi subring.
Himpunan S tak kosong karena 0F∈S. Karena 0F(x) = 0 untuk setiap x∈R. Demikian juga 0F(1) = 0 maka 0F∈S. Dan jika f dan g
elemen dalam S maka
(f+g)(1) = f(1) + g(1) = 0 + 0 = 0 (fg) (1) = f(1)g(1) = 0.0 = 0
Berarti f+g dan fg dalam S. Akhirnya, jika f(1) = 0 maka (-f)(1) = -f(1) = -0 =
0. Hal tersebut berarti, negatif dari setiap elemen S juga berada dalam S.
0 komentar:
Posting Komentar