Teorema Ceva dan Menelaus

Teorema Ceva merupakan teorema yang terkenal di geometri elementer.

Diberikan sebuah segitiga ABC dengan titik D, E, dan F masing-masing terletak pada garis BC, CA, dan AB. (lihat gambar)

Teorema Ceva menyatakan bahwa

Garis AD, BE, dan CF berpotongan di 1 titik jika dan hanya jika:

Sesuai dengan dalil Sinus, Teorema Ceva juga dapat dibentuk sebagai berikut.

=========================================================================

BUKTI TEOREMA CEVA

Perhatikan kata "jika dan hanya jika" dari teorema tersebut.

Dengan demikian, untuk membuktikan teorema ini, kita harus membuktikan 2 kondisi berikut:
1. Jika garis AD, BE, dan CF berpotongan di 1 titik, maka 
2. Jika , maka garis AD, BE, dan CF berpotongan di 1 titik

Untuk Kondisi Pertama:
Diketahui bahwa garis AD, BE, dan CF berpotongan di 1 titik.

Lihat gambar segitiga ABC di atas.
  dan  memiliki tinggi yang sama.
Oleh karena itu:  ... (ia)
Perhatikan juga bahwa  dan  juga memiliki tinggi yang sama.
Oleh karena itu:  ...(ib)

Dari kedua persamaan di atas, maka kita dapatkan:

  ... (ic)

Dengan cara yang sama, kita akan mendapatkan persamaan untuk sisi segitiga yang lain:

... (ii)

... (iii)

Kalikan ketiga persamaan itu, maka akan kita dapatkan:

Kondisi pertama TERBUKTI

Untuk Kondisi Kedua:
(Gunakan gambar segitiga di atas, dengan simbol dan garis yang sama)
Terdapat titik F' pada garis AB sehingga memenuhi persamaan berikut.

... (i)

Karena kita masih memakai simbol F dalam gambar kita, maka persamaan ini juga berlaku (sesuai dengan pembuktian yang kondisi pertama):

... (ii)

Dengan membandingkan keduanya, maka kita dapatkan:

Tambahkan 1 di kedua ruas, maka:

Persamaan terakhir menunjukkan bahwa titik dan titik berhimpit.
Artinya garis garis AD, BE, dan CF' berpotongan di 1 titik

Kondisi Kedua TERBUKTI

=========================================================================

BENTUK TEOREMA CEVA DALAM TRIGONOMETRI

Lihat juga post mengenai PEMBUKTIAN DALIL SINUS di SINI.
Untuk segitiga ABC, dalil Sinus berbunyi sbb:  .

Maka, kita dapatkan ketiga persamaan berikut (lihat gambar paling atas).

... (i)  ... (ii)  ... (iii)

Dengan mengalikan ketiga persamaan tersebut, kita dapatkan persamaan berikut.

 

TERBUKTI.

Teorema Menelaus merupakan dual dari teorema Ceva.

Diberikan sebuah segitiga ABC. Titik D, E, dan F masing-masing terletak pada garis (atau perpanjangan garis) dari AB, BC, dan CA.

Teorema Menelaus menyatakan bahwa:
Titik D, E, dan F segaris jika dan hanya jika:

Tanda negatif disebabkan karena adanya ruas garis yang memiliki arah berlawanan (panjang yang negatif). Logikanya, AD+DB=AB.. Dengan demikian, salah satu dari AD atau DB haruslah negatif.

Tantangan: Dengan melihat proses seperti pembuktian teorema Ceva, kalian tentunya bisa menyelesaikan pembuktian teorema ini dengan mudah. Jadi, buktikanlah sendiri tanpa melihat post ini.

=========================================================================

BUKTI TEOREMA MENELAUS

Jika kalian melihat pembuktian dari teorema Ceva yang sebelumnya, sebenarnya pembuktian teorema ini memiliki proses yang sama.

Perhatikan kata "jika dan hanya jika" dari teorema tersebut.

Dengan demikian, untuk membuktikan teorema ini, kita harus membuktikan 2 kondisi berikut:
1. Jika titik D, E, dan F segaris, maka
2. Jika , maka titik D, E, dan F segaris.

Untuk Kondisi Pertama:
Di kondisi ini, kita menemui 2 kasus YANG MEMUNGKINKAN:
*******************************************************************************************
Kasus 1: jika ada 1 titik yang berada di perpanjangan garis, 2 titik lainnya ada di garis yang bukan merupakan perpanjangan. Artinya, garis ini melewati daerah segitiga ABC. Lihat gambar.

Sekarang, kita buktikan dahulu untuk kasus 1:
Proyeksikan setiap titik-titik sudut segitiga ke garis DEF.

Dengan menggunakan prinsip kesebangunan segitiga, kita dapatkan 3 persamaan berikut:

... (i) ...(ii)  ...(iii)

Dengan mengalikan ketiganya, maka akan kita dapatkan teorema Menelaus:

TERBUKTI

*******************************************************************************************

Kasus 2: Jika semua titik berada pada perpanjangan garis. Artinya, garis tidak melewati daerah segitiga ABC. Lihat gambar.

Sekarang, kita akan membuktikan kasus 2 dengan cara yang sama seperti kasus 1:
Proyeksikan setiap titik-titik sudut segitiga ke garis DEF.

Dengan menggunakan prinsip kesebangunan segitiga, maka kita akan mendapatkan persamaan berikut.

... (i)  ... (ii)  ... (iii)

Dengan mengalikan ketiganya, lagi-lagi teorema Menelaus TERBUKTI.
*******************************************************************************************

Untuk Kondisi Kedua:
Sekarang, kita ingin membuktikan kalau titik D,E, dan F' segaris jika terpenuhi kondisi berikut:

Dengan masih mengganggap titik F ada dalam segitiga di mana titik D, E, dan F segaris (sesuai dengan pembuktian kondisi 1), maka persamaan ini juga berlaku:

Dengan menggabungkan kedua persamaan itu kita dapatkan:

Tambahkan 1 di kedua ruas (cara yang sama seperti pembuktian teorema Ceva), maka:

Artinya, titik dan titik F berhimpit. Jadi, titik D,E, dan F' segaris.  
                                                   
                                                     TERBUKTI.