Field (Ring)

Field

Definisi c.1. Diberikan A subring dari ring R. Maka :

i). A disebut ideal kanan dalam R jika A tertutup terhadap operasi perkalian (pergandaan) sebelah kanan dari elemen dalam R. Jika a ∈ A,r ∈ R maka ar ∈ A.

ii). A disebut ideal kiri dalam R jika A tertutup terhadap operasi pergandaan sebelah kiri dari elemen-elemen dalam R. Jika a ∈ A, r ∈ R, maka ra ∈ A.

iii). A disebut ideal dalam R jika dipenuhi bahwa A ideal kiri dan kanan dalam R. �

Dalam suatu ring R, subring yang hanya memuat elemen nol dan dari definisi jelas merupakan ideal, dan ring R yang memuat subring tersebut

juga merupakan ideal. Kedua ideal tersebut disebut ideal trivial (sederhana). Jika R mempunyai elemen identitas e dan suatu ideal A dalam R memuat sebuah elemen a dengan invers perkalian, maka A = R. Yaitu, jika a ∈ A dan aa^-1 = e, maka e∈A dan ex= x ∈A, untuk setiap x∈R. Dengan cara yang sama dapat ditunjukkan pula berlaku untuk ideal kiri dan ideal.

4. Himpunan Ra terdiri atas semua kelipatan-kelipatan ra dengan a elemen tertentu adalah suatu ideal. Karena jika m1 ∈ Ra, m1 = r1a dan m2∈Ra, m2 = r2a, maka m1 – m2 = r1a – r2a = (r1 – r2)a = r’ a. Sehingga m1 – m2 ∈ Ra. Selanjutnya jika m ∈ Ra, dan m = ra , r1 ∈ R maka r1m=r1(ra)=(r1r)a=r’a. Sehinggar1m ∈ Ra.

Diberikan S ring komutatif dengan elemen identitas e. Jika a ∈ S, diberikan A = { as | s ∈ S } dan dapat dibuktikan bahwa A adalah ideal dalam S. Jika s,t ∈ S maka as + at = a(s+t) dan (as)t = a(st), sehingga A tertutup terhadap penjumlahan dan perkalian oleh sebarang elemen dari S. Selanjutnya, -(as) = a(-s) ∈ A, dan oleh karena invers-invers penjumlahan dari elemen-elemen A adalah juga berada di A, maka A adalah ideal dalam S.

Definisi c.2. Diberikan S ring komutatif dengan elemen satuan. Jika a∈S, suatu ideal dengan bentuk = { as | s∈S } maka disebut ideal utama (principal ideal). Atau dapat juga disebut ideal utama yang dibangun oleh a dan a disebut pembangkit dari ideal. �

Apabila ring R mempunyai elemen satuan maka elemen-elemen berbentuk ra + na dapat ditulis dengan bentuk yang lebih bersahaja. Sebab ra + na = ra + ne.a = (r + ne)a = r’a. Sehingga, bila R mempunyai elemen satuan maka ideal yang dihasilkan oleh a (yaitu ) terdiri atas semua kelipatan-kelipatan ring dari a. Dapat ditulis sebagai himpunan Ra, yaitu Ra = { ra | r ∈ R } dengan a tertentu. Ra tersebut merupakan salah satu contoh lain ideal. Apabila m1 ∈ Ra maka m1 = r1a dan m2 ∈ Ra maka m2 = r2a. Sehinggam1-m2= r1a-r2a=(r1-r2)a=r’a.Jadim1-m2 ∈ Ra. Selanjutnya, jika m∈ Ra, jadi m = ra, dan r1 ∈ R maka r1 (ra) = (r1 r)a = r’

a. Sehingga r1m ∈ Ra.

Teorema c.1.

Jika R adalah daerah euclidean, maka setiap ideal dari R adalah ideal utama. Bukti :

Diberikan d fungsi Euclid untuk R dan diberikan A ideal dari R. Jika A hanya terdiri dari elemen nol, maka A adalah ideal utama dengan A = <0>. Misalkan A bukan ideal nol. Maka himpunan M = { d(a)| a ∈ A, a ≠ 0 } bukan himpunan kosong. Karena M terdiri dari bilangan-bilangan bulat taknegatif, maka menurut sifat keterurutan ada elemen terkecil dalam M. Diambil b ∈ A sehingga d(b) adalah elemen terkecil dari M, maka d(b) ≤ d(a) untuk setiap a∈A dengan a ≠0. Akan dibuktikan bahwa A adalah ideal utama yang dibangun oleh

b. Untuk membuktikannya , harus ditunjukkan bahwa setiap elemen dari A habis dibagi oleh b. Ambil a ∈ A. Dengan algoritma pembagian dipunyai a = bq + r dengan r = 0 atau d(r) <>. Untuk d(r) <>. Elemen r = a – bq adalah elemen dari A, karena a dan b elemen A. Jika r ≠ 0, maka d(r) elemen M dan d(r) lebih kecil dari pada elemen terkecil M, yaitu d(b). Hal tersebut tidak mungkin, sehingga r = 0 dan a = bq. Bentuk tersebut menunjukkan bahwa setiap elemen A adalah perkalian dari b dan A = . g